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Infinitos. Grada 160. Juan Zamoro

Infinitos. Grada 160. Juan Zamoro
Georg Cantor
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Hubo un tiempo en el que el concepto del infinito lindaba con lo sagrado y tan solo la Filosofía se atrevía a lidiar con él. Ese tiempo, en realidad, ha sido el de toda nuestra Historia hasta hace apenas siglo y medio. Solo entonces un hombre se atrevió a iniciar su domesticación, su sometimiento al imperio de la Matemática. Y lo hizo combinando la grandeza de los genios con la elegancia de unos razonamientos que permiten exponer algunos de sus logros de una manera sencilla.

Georg Cantor (1845-1918), nacido ruso, nacionalizado alemán, de ascendencia judía, se formó en Matemáticas y Filosofía en la Universidad de Berlín, donde también se doctoró en esta última materia. Sus primeros trabajos en Matemáticas se enmarcan en la teoría de números y en el análisis matemático, pero en 1874 un artículo suyo estableció los fundamentos de la Teoría de conjuntos, auténtica base de las Matemáticas modernas.

Los conjuntos son colecciones de objetos que comparten alguna propiedad. Esos objetos pueden ser elementos o, también, otros conjuntos. En particular, los conjuntos numéricos más habituales en Matemáticas son el conjunto de números naturales (ℕ), el de números enteros (ℤ), el de números racionales o fracciones (ℚ), el de números reales (ℛ) y el de números complejos (ℂ).

Cada uno de estos conjuntos es subconjunto estricto del siguiente: ℕ⊂ℤ⊂ℚ⊂ℛ⊂ℂ. Sin embargo, Cantor comprendió que, tratándose todos ellos de conjuntos infinitos, podía establecer comparaciones entre sus tamaños estableciendo correspondencias entre sus elementos. Si era capaz de establecer correspondencias ‘uno a uno’, podría determinar que se trataba de conjuntos de la misma cardinalidad (cantidad de elementos).

Es sencillo establecer dicha correspondencia entre los números naturales ℕ={0, 1, 2, 3…} y los números enteros ℤ={… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…}. Podemos, por ejemplo, emparejar los números impares con los positivos y los pares con los negativos de la siguiente forma: (0,0); (1,1); (2,-1); (3,2); (4,-2); (5,3); (6,-3); (…, …). De esta manera, cada número natural queda emparejado con un número entero, nunca mejor dicho, ‘ad infinitum’. Por lo tanto, ambos conjuntos (ℕ y ℤ) deben tener el mismo número, infinito, de elementos.

Sorprendentemente, y de manera genial, Cantor construyó un razonamiento parecido para emparejar el conjunto de los números naturales (ℕ) con el conjunto de los números racionales (ℚ, las fracciones). Resulta más sencillo visualizarlo que escribirlo:

Infinitos La primera columna contiene todos los números racionales con denominador 1; la segunda, todos los números racionales con denominador 2, y así, sucesivamente. Las flechas indican el recorrido a seguir para ir emparejando cada uno de ellos con un número natural. Ahora nuestra colección de parejas sería: (1, 1/1); (2, 2/1); (3, 1/2); (4, 1/3); (5, 2/2); (6, 3/1); (…, …). De nuevo, ambos conjuntos (ℕ y ℚ) tienen el mismo número, infinito, de elementos.

Cuando Cantor se enfrentó a la tarea de comparar el tamaño del conjunto de números naturales (ℕ) con el de los números reales (ℛ, que contiene a los racionales y a los números con infinitas cifras decimales), la intuición le indicaba que se trataba de conjuntos con tamaños muy distintos. Sin embargo, con la intuición no era suficiente, tenía que demostrarlo. Para ello construyó uno de los argumentos más elegantes y reutilizados de la Matemática moderna: el argumento diagonal.

Supongamos que asignamos a cada número natural un número real cualquiera, como muestra la siguiente imagen:

InfinitosPodemos componer un número que se diferencie del primer número en el dígito situado en la primera posición; del segundo en la segunda posición; del tercero, en la tercera… y así sucesivamente. El número resultante no podrá estar emparejado con ningún número natural ‘n’, porque se diferenciará de él, por lo menos, en la n-ésima posición, dado que lo hemos construido así. Por lo tanto, tenemos un elemento más (de hecho, muchos, infinitos) en el conjunto de números reales (ℛ) que en el conjunto de números naturales (ℕ).

El anterior resultado tiene una trascendencia enorme, puesto que significa que existen infinitos de distintos tamaños. Así, Cantor denominó ℵ0, ‘aleph cero’ al infinito correspondiente a la cantidad de números naturales (y, como hemos visto, de números enteros y racionales).

Construyó, de hecho, un conjunto infinito de infinitos, cada uno mayor que el anterior: ℵ0<ℵ1<ℵ2<ℵ3<… Intuyó que el infinito correspondiente a la cantidad de números reales debía ser ℵ1, ‘aleph uno’, y pasó el resto de su vida intentando demostrarlo. Sin embargo, no fue capaz.

Su hipótesis, conocida mundialmente como la Hipótesis del continuo, continúa siendo uno de los problemas abiertos más importantes de las Matemáticas. En mayo pasado una publicación de los matemáticos Asperó y Schindler en la revista ‘Annals of Mathematics’, la más prestigiosa que existe, parecía aportar herramientas para demostrar o refutar la hipótesis, pero aún no ha sido así.

Georg Cantor estableció las bases de una nueva Matemática y cuantificó de manera magistral un concepto tan complejo con el del infinito. Su atrevimiento le supuso conflictos personales derivados de su profunda religiosidad. Además, sufrió serios enfrentamientos y desprecios por parte de algunos de los matemáticos más reconocidos de su época. Otros, sin embargo, como David Hilbert, uno de los príncipes de las Matemáticas, le honró en 1900 estableciendo su hipótesis como el primero de los problemas que debían suponer la sistematización de todas las ciencias exactas. A mayores, ante los ataques que sufría su colega, sentenció: “Nadie nos expulsará del paraíso que Cantor ha creado para nosotros”.

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